Exercice 16

a) $\mathrm{e}^{x}-1\geqslant 0\iff\mathrm{e}^{x}\geqslant\mathrm{e}^{0}\iff x\geqslant 0$ par stricte croissance. $$\boxed{\mathrm{e}^{x}-1 \text{ est négatif si } x<0, \text{ nul si } x=0, \text{ positif si } x>0}$$

b) De même, $\mathrm{e}^{x}\geqslant\mathrm{e}^{2}\iff x\geqslant 2$ : $$\boxed{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2} \text{ est négatif si } x<2, \text{ nul si } x=2, \text{ positif si } x>2}$$

c) $1-\mathrm{e}^{-x}\geqslant 0\iff\mathrm{e}^{-x}\leqslant\mathrm{e}^{0}\iff -x\leqslant 0\iff x\geqslant 0$ : $$\boxed{1-\mathrm{e}^{-x} \text{ est négatif si } x<0, \text{ nul si } x=0, \text{ positif si } x>0}$$

d) Par stricte positivité, $\mathrm{e}^{x}>0$ : le produit est du signe de $x-1$. $$\boxed{(x-1)\mathrm{e}^{x} \text{ est négatif si } x<1, \text{ nul si } x=1, \text{ positif si } x>1}$$

e) Le numérateur $\mathrm{e}^{x}$ est strictement positif, donc le quotient est du signe du dénominateur $x+2$ — l'expression n'étant pas définie en $-2$. $$\boxed{\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x+2} \text{ est négatif si } x<-2 \text{ et positif si } x>-2}$$

f) On factorise : $x\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}(x+1)$. Comme $\mathrm{e}^{x}>0$, l'expression est du signe de $x+1$. $$\boxed{\mathrm{e}^{x}(x+1) \text{ est négatif si } x<-1, \text{ nul si } x=-1, \text{ positif si } x>-1}$$