ExercicePremière, chapitre 8 — Fonction exponentielle · Dérivation

Exercice 17

Calcul

Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, en précisant à chaque fois la fonction $u$ utilisée dans la formule $\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\mathrm{e}^{u}$ .

a) $f(x)=\mathrm{e}^{3x}$

b) $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$

c) $f(x)=\mathrm{e}^{2x+1}$

d) $f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}$

e) $f(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}+3x}$

f) $f(x)=\mathrm{e}^{x^{3}-2x}$

g) $f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ sur $]0\,;+\infty[$

h) $f(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$ sur $]0\,;+\infty[$

Corrigé

On applique la proposition 6 : $\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\,\mathrm{e}^{u}$ .

\begin{array}{|c||c|c|c|} \hline & f(x) & u(x)\text{ \; et \; }u'(x) & f'(x) \\ \hline \text{a)} & \mathrm{e}^{3x} & u=3x\text{, }u'=3 & 3\mathrm{e}^{3x} \\ \hline \text{b)} & \mathrm{e}^{-x} & u=-x\text{, }u'=-1 & -\mathrm{e}^{-x} \\ \hline \text{c)} & \mathrm{e}^{2x+1} & u=2x+1\text{, }u'=2 & 2\mathrm{e}^{2x+1} \\ \hline \text{d)} & \mathrm{e}^{x^{2}} & u=x^{2}\text{, }u'=2x & 2x\,\mathrm{e}^{x^{2}} \\ \hline \text{e)} & \mathrm{e}^{-x^{2}+3x} & u=-x^{2}+3x\text{, }u'=-2x+3 & (-2x+3)\,\mathrm{e}^{-x^{2}+3x} \\ \hline \text{f)} & \mathrm{e}^{x^{3}-2x} & u=x^{3}-2x\text{, }u'=3x^{2}-2 & \left(3x^{2}-2\right)\mathrm{e}^{x^{3}-2x} \\ \hline \text{g)} & \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} & u=\dfrac{1}{x}\text{, }u'=-\dfrac{1}{x^{2}} & -\dfrac{1}{x^{2}}\,\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \\ \hline \text{h)} & \mathrm{e}^{\sqrt{x}} & u=\sqrt{x}\text{, }u'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} & \dfrac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \\ \hline \end{array}

Énoncé PDF, p. 5 Corrigé PDF, p. 9 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

L'exponentielle, réciproque du logarithme Opérations sur les fonctions dérivables Dérivée d'une composée

Thèmes

fonction exponentielle, dérivation

Notions

exponentielle, dérivable