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ExercicePremière, chapitre 8 — Fonction exponentielle · Dérivation

Exercice 18

Calcul

Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur ℝ\mathbb{R} sauf mention contraire. On factorisera le résultat par une exponentielle.

a) f(x)=xexf(x)=x\mathrm{e}^{x}

b) f(x)=(2x−3)exf(x)=(2x-3)\mathrm{e}^{x}

c) f(x)=x2exf(x)=x^{2}\mathrm{e}^{x}

d) f(x)=exxf(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x} sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[

e) f(x)=(x+1)e−xf(x)=(x+1)\mathrm{e}^{-x}

f) f(x)=xe−xf(x)=x\mathrm{e}^{-x}

Corrigé

On utilise la dérivée d'un produit, (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv', et celle d'un quotient, (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.

a) f′(x)=1×ex+x×ex=(x+1)exf'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+x\times\mathrm{e}^{x}=\boxed{(x+1)\mathrm{e}^{x}}

b) f′(x)=2ex+(2x−3)ex=(2x−1)exf'(x)=2\mathrm{e}^{x}+(2x-3)\mathrm{e}^{x}=\boxed{(2x-1)\mathrm{e}^{x}}

c) f′(x)=2x ex+x2ex=x(x+2)exf'(x)=2x\,\mathrm{e}^{x}+x^{2}\mathrm{e}^{x}=\boxed{x(x+2)\mathrm{e}^{x}}

d) f′(x)=ex×x−ex×1x2=(x−1)exx2f'(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}\times x-\mathrm{e}^{x}\times 1}{x^{2}}=\boxed{\frac{(x-1)\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}}

e) Ici (e−x)′=−e−x\left(\mathrm{e}^{-x}\right)'=-\mathrm{e}^{-x} : f′(x)=1×e−x+(x+1)×(−e−x)=e−x(1−x−1)=−x e−xf'(x)=1\times\mathrm{e}^{-x}+(x+1)\times\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)=\mathrm{e}^{-x}\big(1-x-1\big) =\boxed{-x\,\mathrm{e}^{-x}}

f) f′(x)=e−x+x×(−e−x)=(1−x)e−xf'(x)=\mathrm{e}^{-x}+x\times\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)=\boxed{(1-x)\mathrm{e}^{-x}}

Énoncé PDF, p. 5Corrigé PDF, p. 9Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

L'exponentielle, réciproque du logarithmeOpérations sur les fonctions dérivablesDérivée d'une composée

Thèmes

fonction exponentielle, dérivation

Notions

exponentielle, dérivable

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