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ExercicePremière, chapitre 8 — Fonction exponentielle · Dérivation

Exercice 19

Calcul

Pour chacune des fonctions suivantes, définies sur ℝ\mathbb{R} : calculer la dérivée, la factoriser, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations de ff en précisant les extremums.

1. f(x)=(x−2)exf(x)=(x-2)\mathrm{e}^{x}

2. f(x)=e−x2f(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}

3. f(x)=xe−xf(x)=x\mathrm{e}^{-x}

Corrigé

1. f(x)=(x−2)exf(x)=(x-2)\mathrm{e}^{x}. f′(x)=ex+(x−2)ex=(x−1)exf'(x)=\mathrm{e}^{x}+(x-2)\mathrm{e}^{x}=\boxed{(x-1)\mathrm{e}^{x}} Comme ex>0\mathrm{e}^{x}>0, f′(x)f'(x) est du signe de x−1x-1.

Figure
f admet un minimum eˊgal aˋ f(1)=−e≈−2,72, atteint en x=1\boxed{f \text{ admet un minimum égal à } f(1)=-\mathrm{e}\approx -2{,}72, \text{ atteint en } x=1}

2. f(x)=e−x2f(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}, avec u=−x2u=-x^{2} et u′=−2xu'=-2x : f′(x)=−2x e−x2f'(x)=\boxed{-2x\,\mathrm{e}^{-x^{2}}} Comme e−x2>0\mathrm{e}^{-x^{2}}>0, f′(x)f'(x) est du signe de −2x-2x, donc positif si x<0x<0.

Figure
f admet un maximum eˊgal aˋ f(0)=e0=1, atteint en x=0\boxed{f \text{ admet un maximum égal à } f(0)=\mathrm{e}^{0}=1, \text{ atteint en } x=0}

3. f(x)=xe−xf(x)=x\mathrm{e}^{-x}. f′(x)=e−x−x e−x=(1−x)e−xf'(x)=\mathrm{e}^{-x}-x\,\mathrm{e}^{-x}=\boxed{(1-x)\mathrm{e}^{-x}} Comme e−x>0\mathrm{e}^{-x}>0, f′(x)f'(x) est du signe de 1−x1-x, donc positif si x<1x<1.

Figure
f admet un maximum eˊgal aˋ f(1)=e−1≈0,37, atteint en x=1\boxed{f \text{ admet un maximum égal à } f(1)=\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}37, \text{ atteint en } x=1}
Énoncé PDF, p. 5Corrigé PDF, p. 10Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

L'exponentielle, réciproque du logarithmeOpérations sur les fonctions dérivablesSigne de la dérivée et monotonieDérivée d'une composéeExtremum local et dérivée nulle

Thèmes

fonction exponentielle, dérivation, variations

Notions

exponentielle, dérivable, extremum local

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