Exercice 20

a) $f(x)=\mathrm{e}^{2x}$ donne $f'(x)=2\mathrm{e}^{2x}$, d'où $f(0)=1$ et $f'(0)=2$ : $$y=2(x-0)+1 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{y=2x+1}$$

b) $f(x)=x\mathrm{e}^{x}$ donne $f'(x)=(x+1)\mathrm{e}^{x}$, d'où $f(0)=0$ et $f'(0)=1$ : $$\boxed{y=x}$$

c) $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$ donne $f'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$, d'où $f(1)=\mathrm{e}^{-1}$ et $f'(1)=-\mathrm{e}^{-1}$ : $$y=-\mathrm{e}^{-1}(x-1)+\mathrm{e}^{-1}=-\mathrm{e}^{-1}x+\mathrm{e}^{-1}+\mathrm{e}^{-1}$$

d) $f(x)=(x+1)\mathrm{e}^{x}$ donne $f'(x)=\mathrm{e}^{x}+(x+1)\mathrm{e}^{x}=(x+2)\mathrm{e}^{x}$, d'où $f(0)=1$ et $f'(0)=2$ : $$\boxed{y=2x+1}$$

On remarquera que les fonctions a) et d), bien que différentes, admettent la même tangente en $0$ : elles ont même valeur et même nombre dérivé en ce point.