Exercice 21

1. On dérive le produit, avec $u(x)=x^{2}-3$ et $v(x)=\mathrm{e}^{x}$ : $$\begin{aligned} f'(x) &= 2x\,\mathrm{e}^{x}+\left(x^{2}-3\right)\mathrm{e}^{x} \\ &= \left(x^{2}+2x-3\right)\mathrm{e}^{x} \end{aligned}$$ Le trinôme $x^{2}+2x-3$ a pour discriminant $\Delta=4+12=16$, d'où les racines $\dfrac{-2-4}{2}=-3$ et $\dfrac{-2+4}{2}=1$ : $$\boxed{f'(x)=(x+3)(x-1)\mathrm{e}^{x}}$$

2. Comme $\mathrm{e}^{x}>0$, le signe de $f'(x)$ est celui du trinôme, positif à l'extérieur des racines : $$\boxed{f'(x)>0 \text{ sur } \left]-\infty\,;-3\right[\cup\left]1\,;+\infty\right[ \quad \text{et} \quad f'(x)<0 \text{ sur } \left]-3\,;1\right[}$$

3.

4. Comme $\mathrm{e}^{x}\neq 0$ : $$f(x)=0 \iff x^{2}-3=0 \iff \boxed{x=-\sqrt{3} \text{ ou } x=\sqrt{3}}$$

5. Le signe de $f(x)$ est celui de $x^{2}-3$, positif à l'extérieur des racines : $$\boxed{f(x)>0 \text{ sur } \left]-\infty\,;-\sqrt{3}\right[ \cup\left]\sqrt{3}\,;+\infty\right[ \quad \text{et} \quad f(x)<0 \text{ sur } \left]-\sqrt{3}\,;\sqrt{3}\right[}$$ On vérifie la cohérence : $-\sqrt{3}\approx -1{,}73$ est bien situé entre $-3$ et $1$, dans la zone où $f$ décroît de $0{,}30$ à $-5{,}44$.