Exercice 22

1. Avec $u(x)=x+2$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$, dont la dérivée est $-\mathrm{e}^{-x}$ : $$\begin{aligned} f'(x) &= 1\times\mathrm{e}^{-x}+(x+2)\times\left(-\mathrm{e}^{-x}\right) \\ &= \mathrm{e}^{-x}\big(1-x-2\big) = \boxed{-(x+1)\mathrm{e}^{-x}} \end{aligned}$$

2. Comme $\mathrm{e}^{-x}>0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $-(x+1)$, donc positif si $x<-1$.

3. La fonction croît puis décroît : elle atteint son maximum en $-1$. $$f(-1)=(-1+2)\mathrm{e}^{-(-1)}=1\times\mathrm{e} \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{\text{le maximum de } f \text{ vaut } \mathrm{e}\approx 2{,}72}$$

4. La tangente au point d'abscisse $-1$ a pour équation $y=f'(-1)(x+1)+f(-1)$. Or $f'(-1)=0$ : $$\boxed{y=\mathrm{e}}$$

5. Comme $\mathrm{e}^{-x}\neq 0$ : $$f(x)=0 \iff x+2=0 \iff \boxed{x=-2}$$ Le signe de $f(x)$ est celui de $x+2$ : $$\boxed{f(x)<0 \text{ sur } \left]-\infty\,;-2\right[ \quad \text{et} \quad f(x)>0 \text{ sur } \left]-2\,;+\infty\right[}$$