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ExercicePremière, chapitre 8 — Fonction exponentielle · Exercices de synthèse

Exercice 23 QCM

QCMDémonstration

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. La justifier.

Question	Réponse A	Réponse B	Réponse C
1. $\mathrm{e}^{3}\times\mathrm{e}^{-5}$ est égal à :	$\mathrm{e}^{-15}$	$\mathrm{e}^{-2}$	$\mathrm{e}^{8}$
2. $\left(\mathrm{e}^{2x}\right)^{3}$ est égal à :	$\mathrm{e}^{2x^{3}}$	$\mathrm{e}^{6x}$	$\mathrm{e}^{5x}$
3. L'équation $\mathrm{e}^{x}=0$ admet :	aucune solution	une solution	deux solutions
4. L'équation $\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{x+3}$ a pour solution :	$x=3$	$x=1$	$x=-3$
5. Pour tout réel $x$ , le nombre $\mathrm{e}^{x}$ est :	positif ou nul	strictement positif	de signe variable
6. La dérivée de $x\mapsto\mathrm{e}^{-2x}$ est :	$-2\mathrm{e}^{-2x}$	$\mathrm{e}^{-2x}$	$-\mathrm{e}^{-2x}$
7. La dérivée de $x\mapsto x\mathrm{e}^{x}$ est :	$\mathrm{e}^{x}$	$(x+1)\mathrm{e}^{x}$	$x\mathrm{e}^{x}$
8. L'inéquation $\mathrm{e}^{x}<\mathrm{e}^{2}$ a pour solutions :	$]-\infty\,;2[$	$]2\,;+\infty[$	$\mathbb{R}$
9. La tangente à la courbe de $\exp$ au point d'abscisse $0$ a pour équation :	$y=x$	$y=x+1$	$y=\mathrm{e} x$
10. Une valeur approchée de $\mathrm{e}$ est :	$2{,}718$	$3{,}142$	$1{,}618$

Corrigé

Question	Réponse	Justification
1	B	$\mathrm{e}^{3}\times\mathrm{e}^{-5}=\mathrm{e}^{3-5}=\mathrm{e}^{-2}$ . On additionne les exposants, on ne les multiplie pas.
2	B	$\left(\mathrm{e}^{2x}\right)^{3}=\mathrm{e}^{2x\times 3}=\mathrm{e}^{6x}$ .
3	A	L'exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ : elle ne s'annule jamais (proposition 4).
4	A	Par stricte croissance, $2x=x+3$ , donc $x=3$ .
5	B	C'est la proposition 4 : $\mathrm{e}^{x}=\left(\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}\right)^{2}>0$ , la valeur $0$ étant exclue puisque l'exponentielle ne s'annule pas.
6	A	Avec $u=-2x$ et $u'=-2$ , la formule $\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\mathrm{e}^{u}$ donne $-2\mathrm{e}^{-2x}$ .
7	B	Dérivée d'un produit : $1\times\mathrm{e}^{x}+x\times\mathrm{e}^{x}=(x+1)\mathrm{e}^{x}$ .
8	A	Par stricte croissance, $\mathrm{e}^{x}<\mathrm{e}^{2}\iff x<2$ .
9	B	$f(0)=f'(0)=1$ , d'où $y=1\times x+1$ . La réponse C est la tangente au point d'abscisse $1$ .
10	A	$\mathrm{e}\approx 2{,}718$ . La réponse B est $\pi$ , la réponse C le nombre d'or.

Énoncé PDF, p. 7 Corrigé PDF, p. 13 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

L'exponentielle, réciproque du logarithme Opérations sur les fonctions dérivables Développement limité à l'ordre 1 et continuité Dérivée d'une composée

Thèmes

fonction exponentielle, équations et inéquations, dérivation, tangente

Notions

exponentielle, dérivable, nombre e

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