Exercice 24 Vrai ou faux

1. Vraie. C'est la proposition 4 du cours : l'exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$.

2. Fausse. C'est exactement la négation de l'affirmation précédente : l'exponentielle ne s'annule jamais. La proposition 2 le démontre en établissant que $\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{-x}=1$, ce qui serait impossible si l'un des facteurs était nul.

3. Fausse. La bonne formule est $\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}\times\mathrm{e}^{b}$ : l'exponentielle transforme les sommes en produits. Contre-exemple avec $a=b=0$ : $$\mathrm{e}^{0+0}=\mathrm{e}^{0}=1 \qquad \text{alors que} \qquad \mathrm{e}^{0}+\mathrm{e}^{0}=1+1=2$$

4. Vraie. C'est la règle $\left(\mathrm{e}^{a}\right)^{n}=\mathrm{e}^{na}$ appliquée avec $n=2$.

5. Vraie. C'est la proposition 5. Elle découle du fait que $\exp'=\exp$ est strictement positive.

6. Fausse. L'exponentielle est strictement positive quel que soit l'exposant : $\mathrm{e}^{-2}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{2}}\approx 0{,}135>0$.

7. Vraie. C'est une conséquence de la stricte croissance, énoncée dans la proposition 5 : une fonction strictement croissante ne peut pas prendre deux fois la même valeur.

8. Fausse. Avec $u=x^{2}$ et $u'=2x$, la formule donne $2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}$ et non $\mathrm{e}^{2x}$. Contre-exemple en $x=1$ : la dérivée vaut $2\mathrm{e}$, alors que $\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}39$ et $2\mathrm{e}\approx 5{,}44$.

9. Vraie. C'est la propriété qui définit l'exponentielle dans la proposition 1 : $f'=f$ et $f(0)=1$.

10. Vraie. C'est le résultat démontré à l'exercice 29 : il traduit le fait que la courbe de l'exponentielle se situe au-dessus de sa tangente au point d'abscisse $0$.