Exercice 25 Type Bac

1. Avec $u(x)=x-1$ et $v(x)=\mathrm{e}^{x}$ : $$f'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+(x-1)\times\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}\big(1+x-1\big)=\boxed{x\,\mathrm{e}^{x}}$$

2. Comme $\mathrm{e}^{x}>0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $x$.

3. La fonction décroît puis croît : elle atteint son minimum en $0$. $$f(0)=(0-1)\mathrm{e}^{0}=-1 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{\text{le minimum de } f \text{ vaut } -1, \text{ atteint en } x=0}$$

4. La tangente a pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)$. Or $f'(0)=0\times\mathrm{e}^{0}=0$ : $$\boxed{T : y=-1}$$

5. Comme $\mathrm{e}^{x}\neq 0$ : $$f(x)=0 \iff x-1=0 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{S=\{1\}}$$ Le signe de $f(x)$ est celui de $x-1$ : $$\boxed{f(x)<0 \text{ sur } \left]-\infty\,;1\right[ \quad \text{et} \quad f(x)>0 \text{ sur } \left]1\,;+\infty\right[}$$

6.

7.