Exercice 5

a) Le facteur commun est $\mathrm{e}^{x}$, puisque $\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{x}$ : $$\boxed{\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)}$$

b) $$\boxed{\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)}$$

c) $$\boxed{x\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}(x+1)}$$

d) En écrivant $\mathrm{e}^{2x}=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}$, on reconnaît $u^{2}-v^{2}$ : $$\boxed{\mathrm{e}^{2x}-1=\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)}$$

e) $$\boxed{3\mathrm{e}^{x}-3=3\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)}$$

f) On factorise d'abord par $\mathrm{e}^{x}$, puis on reconnaît $x^{2}-4$ : $$x^{2}\mathrm{e}^{x}-4\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}-4\right)=\boxed{\mathrm{e}^{x}(x-2)(x+2)}$$