Exercice 27

1. $$T(0)=20+60\,\mathrm{e}^{0}=20+60=\boxed{80}$$

2. $$T(20)=20+60\,\mathrm{e}^{-0,05\times 20}=20+60\,\mathrm{e}^{-1}\approx\boxed{42{,}1 \text{ °C}}$$

3. On dérive, avec $u(t)=-0{,}05\,t$ et $u'(t)=-0{,}05$ : $$T'(t)=60\times(-0{,}05)\,\mathrm{e}^{-0,05\,t}=\boxed{-3\,\mathrm{e}^{-0,05\,t}}$$ Comme l'exponentielle est strictement positive, $T'(t)<0$ pour tout $t$ : $$\boxed{T \text{ est strictement décroissante sur } [0\,;+\infty[}$$

4. $$20+60\,\mathrm{e}^{-0,05\,t}=20+\frac{60}{\mathrm{e}} \iff 60\,\mathrm{e}^{-0,05\,t}=60\,\mathrm{e}^{-1} \iff \mathrm{e}^{-0,05\,t}=\mathrm{e}^{-1}$$ Par stricte croissance de l'exponentielle : $$-0{,}05\,t=-1 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{t=20 \text{ minutes}}$$ On retrouve exactement la valeur calculée à la question 2.

5. Pour tout $t\geqslant 0$, on a $\mathrm{e}^{-0,05\,t}>0$, donc $60\,\mathrm{e}^{-0,05\,t}>0$ et : $$T(t)=20+\underbrace{60\,\mathrm{e}^{-0,05\,t}}_{>\,0}>20$$

6. On résout l'inéquation $T(t)\leqslant 20+60\,\mathrm{e}^{-1}$ : $$60\,\mathrm{e}^{-0,05\,t}\leqslant 60\,\mathrm{e}^{-1} \iff \mathrm{e}^{-0,05\,t}\leqslant\mathrm{e}^{-1} \iff -0{,}05\,t\leqslant -1$$ En divisant par $-0{,}05$, qui est négatif, l'inégalité change de sens : $$t\geqslant 20 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{\text{Le café est buvable à partir de } 20 \text{ minutes}}$$