Exercice 28

1. Pour chacune des quatre fonctions, l'exposant s'annule en $x=0$, et $\mathrm{e}^{0}=1$ : $$\mathrm{e}^{0}=1 \quad ; \quad \mathrm{e}^{-0}=1 \quad ; \quad \mathrm{e}^{2\times 0}=1 \quad ; \quad \mathrm{e}^{\frac{0}{2}}=1$$

2. On applique $\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\mathrm{e}^{u}$, puis on évalue en $0$ :

3. Les quatre courbes se croisant toutes en $(0\,;1)$, c'est la pente en ce point qui permet de les distinguer : plus le coefficient directeur est grand, plus la courbe monte vite. $$\boxed{\mathcal{C}_{1} : \mathrm{e}^{\frac{x}{2}} \quad ; \quad \mathcal{C}_{2} : \mathrm{e}^{2x} \quad ; \quad \mathcal{C}_{3} : \mathrm{e}^{-x} \quad ; \quad \mathcal{C}_{4} : \mathrm{e}^{x}}$$ En effet $\mathcal{C}_{2}$ est la plus redressée, $\mathcal{C}_{1}$ la plus aplatie, et $\mathcal{C}_{3}$ est la seule à descendre.

4. Une fonction est décroissante lorsque sa dérivée est négative. Or $\mathrm{e}^{-x}>0$, donc $-\mathrm{e}^{-x}<0$ : $$\boxed{\text{Seule } x\mapsto\mathrm{e}^{-x} \text{ est décroissante sur } \mathbb{R}}$$ Les trois autres dérivées sont de la forme $k\,\mathrm{e}^{u}$ avec $k>0$, donc strictement positives.