Exercice 29

Partie A : la démonstration.

1. $$\boxed{g'(x)=\mathrm{e}^{x}-1}$$

2. Par stricte croissance de l'exponentielle : $$g'(x)\geqslant 0 \iff \mathrm{e}^{x}\geqslant 1=\mathrm{e}^{0} \iff x\geqslant 0$$

3.

4. La fonction $g$ atteint son minimum en $0$, et ce minimum vaut $0$. Donc pour tout réel $x$, $g(x)\geqslant g(0)=0$ : $$\mathrm{e}^{x}-x-1\geqslant 0 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{\mathrm{e}^{x}\geqslant x+1}$$

5. L'inégalité signifie que l'ordonnée d'un point de $\mathcal{C}$ est toujours supérieure ou égale à celle du point de $T_{0}$ de même abscisse. $$\boxed{\mathcal{C} \text{ est située au-dessus de sa tangente } T_{0} \text{ sur } \mathbb{R} \text{ tout entier}}$$ C'est exactement ce que la figure de l'exercice 14 laissait deviner.

6. L'égalité $g(x)=0$ n'a lieu qu'au minimum, atteint en $x=0$ : $$\boxed{\text{L'égalité } \mathrm{e}^{x}=x+1 \text{ n'a lieu que pour } x=0}$$ Géométriquement, c'est le point de contact entre $\mathcal{C}$ et $T_{0}$.

Partie B : deux conséquences.

7. Pour $x>0$, on a $x+1>x$, donc par transitivité : $$\mathrm{e}^{x}\geqslant x+1>x \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{\mathrm{e}^{x}>x}$$

8. L'inégalité $\mathrm{e}^{X}\geqslant X+1$ est valable pour tout réel $X$. En l'appliquant à $X=-x$ : $$\boxed{\mathrm{e}^{-x}\geqslant -x+1=1-x}$$

9. Soit $x<1$. Alors $1-x>0$, et l'on sait par ailleurs que $\mathrm{e}^{-x}>0$. Les deux membres de l'inégalité $\mathrm{e}^{-x}\geqslant 1-x$ étant strictement positifs, on peut passer à l'inverse, ce qui change le sens de l'inégalité : $$\frac{1}{\mathrm{e}^{-x}}\leqslant\frac{1}{1-x}$$ Or $\dfrac{1}{\mathrm{e}^{-x}}=\mathrm{e}^{x}$ d'après la proposition 2 du cours : $$\boxed{\mathrm{e}^{x}\leqslant\frac{1}{1-x} \qquad \text{pour tout } x<1}$$ On dispose ainsi d'un encadrement de l'exponentielle sur $\left]-\infty\,;1\right[$ : $$x+1\leqslant\mathrm{e}^{x}\leqslant\frac{1}{1-x}$$