Exercice 30

1. Avec $u(x)=x+m$ et $v(x)=\mathrm{e}^{x}$ : $$f_{m}'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+(x+m)\times\mathrm{e}^{x}=\boxed{(x+m+1)\,\mathrm{e}^{x}}$$

2. Comme $\mathrm{e}^{x}>0$, le signe de $f_{m}'(x)$ est celui de $x+m+1$, qui s'annule en $x=-m-1$ : $$f_{m}'(x)\geqslant 0 \iff x\geqslant -m-1$$

3. La fonction décroît puis croît : elle admet donc un minimum, atteint en $-m-1$. On le calcule : $$\begin{aligned} f_{m}(-m-1) &= (-m-1+m)\,\mathrm{e}^{-m-1} \\ &= (-1)\times\mathrm{e}^{-m-1} = \boxed{-\mathrm{e}^{-m-1}} \end{aligned}$$

4. L'exponentielle étant strictement positive, $\mathrm{e}^{-m-1}>0$, donc son opposé est strictement négatif : $$\boxed{\text{Pour toute valeur de } m, \text{ le minimum } -\mathrm{e}^{-m-1} \text{ est strictement négatif}}$$ Autrement dit, la courbe de $f_{m}$ passe toujours en dessous de l'axe des abscisses, quelle que soit la valeur du paramètre.

5. La tangente est horizontale lorsque le nombre dérivé s'annule : $$f_{m}'(0)=(0+m+1)\,\mathrm{e}^{0}=m+1$$

6. La courbe passe par $(0\,;3)$ si $f_{m}(0)=3$ : $$f_{m}(0)=(0+m)\,\mathrm{e}^{0}=m \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{m=3}$$

7. Pour $m=0$, on a $f_{0}(x)=x\,\mathrm{e}^{x}$ et $f_{0}'(x)=(x+1)\mathrm{e}^{x}$, qui s'annule en $-1$.

$$\boxed{\text{Le minimum de } f_{0} \text{ vaut } -\mathrm{e}^{-1}\approx -0{,}37, \text{ atteint en } x=-1}$$ C'est bien la valeur donnée par la formule générale de la question 3 avec $m=0$.