Exercice 1

On utilise la formule du cours : pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$, $1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.

1. $$1+2+3+\dots+50=\frac{50\times 51}{2}=25\times 51=\boxed{1\,275}$$

2. $$1+2+3+\dots+200=\frac{200\times 201}{2}=100\times 201=\boxed{20\,100}$$

3. La somme $51+52+\dots+100$ est la somme des entiers de $1$ à $100$, à laquelle on retire la somme des entiers de $1$ à $50$ : $$51+52+\dots+100=\frac{100\times 101}{2}-\frac{50\times 51}{2}=5\,050-1\,275=\boxed{3\,775}$$ L'erreur la plus répandue est de retirer la somme jusqu'à $51$ : le terme $51$ doit être conservé, on retire donc exactement les termes de $1$ à $50$.

4. Chaque terme est le double d'un entier compris entre $1$ et $50$. On factorise par $2$ : $$2+4+6+\dots+100=2\,(1+2+3+\dots+50)=2\times 1\,275=\boxed{2\,550}$$

5. Les entiers impairs de $1$ à $99$ sont au nombre de $50$, puisque $99=2\times 50-1$. On peut retirer la somme des pairs de la somme de tous les entiers jusqu'à $100$ : $$1+3+5+\dots+99=5\,050-2\,550=\boxed{2\,500}$$ On peut aussi utiliser la formule « nombre de termes $\times$ moyenne des termes extrêmes » : $50\times\dfrac{1+99}{2}=50\times 50=2\,500$. On remarque que $2\,500=50^{2}$ : l'exercice 2 explique ce résultat.