Exercice 2

1. $$\sum_{k=1}^{40}k=1+2+\dots+40=\frac{40\times 41}{2}=\boxed{820}$$

2. Le terme général ne dépend pas de $k$ : on additionne le nombre $6$ autant de fois qu'il y a de valeurs de $k$ entre $0$ et $15$, c'est-à-dire $16$ fois. $$\sum_{k=0}^{15}6=16\times 6=\boxed{96}$$ L'erreur la plus répandue est de compter $15$ termes : de $0$ à $15$, il y a $15-0+1=16$ valeurs de $k$.

3. On sépare la somme en deux, puis on applique la formule : $$\sum_{k=1}^{25}(2k-1)=2\sum_{k=1}^{25}k-\sum_{k=1}^{25}1=2\times\frac{25\times 26}{2}-25 =650-25=\boxed{625}$$

4. De même : $$\sum_{k=1}^{30}(3k+2)=3\sum_{k=1}^{30}k+\sum_{k=1}^{30}2=3\times\frac{30\times 31}{2}+30\times 2 =1\,395+60=\boxed{1\,455}$$

5. La somme commence à $k=10$ : on retire de la somme des entiers de $1$ à $40$ celle des entiers de $1$ à $9$. $$\sum_{k=10}^{40}k=\frac{40\times 41}{2}-\frac{9\times 10}{2}=820-45=\boxed{775}$$

On remarque que $625=25^{2}$ : la somme des $25$ premiers entiers impairs est le carré de $25$. Avec le résultat $2\,500=50^{2}$ de l'exercice 1, on peut conjecturer : $$\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}$$ Le même calcul qu'à la question 3 le démontre pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ : $$\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=2\times\frac{n(n+1)}{2}-n=n^{2}+n-n=\boxed{n^{2}}$$