Exercice 3

On cherche $n$ tel que $\dfrac{n(n+1)}{2}=S$, c'est-à-dire $n(n+1)=2S$. On cherche donc deux entiers consécutifs dont le produit vaut $2S$.

1. $n(n+1)=156$. Or $12\times 13=156$, donc $\boxed{n=12}$.

2. $n(n+1)=420$. Or $20\times 21=420$, donc $\boxed{n=20}$.

3. $n(n+1)=3\,080$. Comme $55^{2}=3\,025$, on essaie $55\times 56=3\,080$, donc $\boxed{n=55}$.

On peut aussi résoudre l'équation du second degré $n^{2}+n-2S=0$. Par exemple, pour $S=78$ : $\Delta=1+624=625=25^{2}$, d'où $n=\dfrac{-1+25}{2}=12$, l'autre racine étant négative.

Pour $S=100$, il faudrait $n(n+1)=200$. Or $13\times 14=182$ et $14\times 15=210$, et le produit $n(n+1)$ augmente avec $n$ : il passe de $182$ à $210$ sans prendre la valeur $200$. $$\boxed{\text{Il n'existe aucun entier } n \text{ tel que } 1+2+\dots+n=100}$$ On le confirme avec le discriminant de $n^{2}+n-200=0$ : $\Delta=801$, qui n'est pas le carré d'un entier, puisque $28^{2}=784$ et $29^{2}=841$.