Exercice 8

On note $m_{n}$ le versement du $n$-ième mois. La suite $(m_{n})$ est arithmétique de premier terme $m_{1}=50$ et de raison $10$ : $m_{n}=50+10(n-1)=10n+40$.

1. $$m_{12}=50+10\times 11=\boxed{160 \text{ euros}}$$

2. $$m_{1}+m_{2}+\dots+m_{12}=12\times\frac{50+160}{2}=12\times 105=\boxed{1\,260 \text{ euros}}$$

3. $$S_{n}=n\times\frac{m_{1}+m_{n}}{2}=n\times\frac{50+10n+40}{2}=\frac{n(10n+90)}{2} =\boxed{5n^{2}+45n}$$ Contrôle : $S_{12}=5\times 144+45\times 12=720+540=1\,260$, comme à la question 2.

4. $S_{n}>3\,000\iff 5n^{2}+45n-3\,000>0\iff n^{2}+9n-600>0$. Le discriminant vaut $\Delta=81+2\,400=2\,481$, et la racine positive est $\dfrac{-9+\sqrt{2\,481}}{2}\approx 20{,}4$. $$\boxed{\text{le total dépasse } 3\,000 \text{ euros au bout de } 21 \text{ mois}}$$ Contrôle : $S_{20}=2\,000+900=2\,900$ et $S_{21}=2\,205+945=3\,150$.