Exercice 9

1. On ajoute à chaque fois l'entier suivant : $$T_{1}=1 \quad ; \quad T_{2}=3 \quad ; \quad T_{3}=6 \quad ; \quad T_{4}=10 \quad ; \quad T_{5}=15 \quad ; \quad T_{6}=21$$

2. $T_{1}+T_{2}=4$, $T_{2}+T_{3}=9$, $T_{3}+T_{4}=16$. On obtient les carrés $2^{2}$, $3^{2}$, $4^{2}$. On conjecture : $$T_{n}+T_{n+1}=(n+1)^{2}$$

3. Pour tout $n\geqslant 1$, d'après la formule du cours : $$T_{n}+T_{n+1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)\big(n+(n+2)\big)}{2} =\frac{(n+1)(2n+2)}{2}=\boxed{(n+1)^{2}}$$ en factorisant par $n+1$.

Le carré de $4\times 4=16$ points se découpe le long d'une diagonale en deux triangles : les $6$ points bleu ardoise forment le triangle $T_{3}$, les $10$ points violets le triangle $T_{4}$. C'est l'origine du nom « nombres triangulaires ».

4. D'après la question 3 avec $n=99$ : $$T_{99}+T_{100}=100^{2}=\boxed{10\,000}$$