Exercice 10

1. $18+19+20+21+22=5\times\dfrac{18+22}{2}=5\times 20=100$. Pour une autre écriture, on cherche un nombre pair de termes : la somme de $8$ entiers consécutifs à partir de $9$ convient. $$\boxed{100=9+10+11+12+13+14+15+16}$$ En effet, $8\times\dfrac{9+16}{2}=4\times 25=100$. La question 2 donne une méthode pour trouver ces écritures : il faut $p(2a+p-1)=200$, et $p=8$ donne $2a+7=25$, soit $a=9$.

2. Les $p$ entiers consécutifs à partir de $a$ sont $a$, $a+1$, …, $a+p-1$. Ils forment une suite arithmétique de raison $1$, et leur somme vaut : $$S=p\times\frac{a+(a+p-1)}{2}=\boxed{\frac{p\,(2a+p-1)}{2}}$$ On peut aussi écrire $S=p\,a+(0+1+\dots+(p-1))=pa+\dfrac{(p-1)p}{2}$, et l'on retrouve la même expression.

3. La différence des deux facteurs vaut $(2a+p-1)-p=2a-1$, qui est impair. Or deux entiers de même parité ont une différence paire. Les deux facteurs sont donc de parités différentes : $$\boxed{\text{l'un des facteurs } p \text{ et } 2a+p-1 \text{ est pair, l'autre impair}}$$

4. Supposons que $64$ s'écrive ainsi. Alors $p(2a+p-1)=128=2^{7}$. D'après la question 3, l'un des deux facteurs est impair ; or le seul diviseur impair de $2^{7}$ est $1$. Mais $p\geqslant 2$, et $2a+p-1\geqslant 2+2-1=3$ : aucun des deux facteurs ne peut valoir $1$. C'est une contradiction. $$\boxed{64 \text{ ne s'écrit pas comme somme d'au moins deux entiers consécutifs strictement positifs}}$$ Le même raisonnement s'applique à toutes les puissances de $2$ : $2$, $4$, $8$, $16$, $32$, $64$, … On peut montrer que ce sont les seuls entiers qui n'ont pas d'écriture de ce type.