ExerciceSeconde, chapitre 1 — Nombres et calculs · Exercices de synthèse

Exercice 38

Calcul

D'après une légende, l'inventeur du jeu d'échecs demanda pour récompense un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite en doublant à chaque case jusqu'à la $64^{\text{e}}$ .

1. Combien de grains de riz la $10^{\text{e}}$ case porte-t-elle ? Et la $64^{\text{e}}$  ? Exprimer les réponses sous la forme d'une puissance de $2$ .

2. À l'aide de la calculatrice, donner l'écriture scientifique du nombre de grains de la dernière case, arrondie au dixième.

3. Un grain de riz pèse environ $25$ mg. Quelle masse, en kilogrammes, représente la dernière case ? Donner le résultat en écriture scientifique.

4. La production mondiale annuelle de riz est d'environ $8\times 10^{11}$ kg. Pendant combien d'années faudrait-il produire du riz pour honorer cette seule case ?

Corrigé

1. La première case porte $1=2^0$ grain, la deuxième $2=2^1$ , la troisième $4=2^2$ : à chaque fois l'exposant vaut le numéro de la case diminué de $1$ . $\boxed{\text{la }10^{\text{e}}\text{ case porte }2^{9}=512\text{ grains, et la } 64^{\text{e}}\text{ case }2^{63}\text{ grains}}$

2. La calculatrice donne $2^{63}=9\,223\,372\,036\,854\,775\,808$ , soit : $\boxed{2^{63}\approx 9{,}2\times 10^{18}\text{ grains}}$

3. On convertit d'abord la masse d'un grain en kilogrammes : $25\;\text{mg}=0{,}000\,025\;\text{kg}=2{,}5\times 10^{-5}\;\text{kg}$ . Ainsi : $m\approx 9{,}2\times 10^{18}\times 2{,}5\times 10^{-5}=23\times 10^{13}$

\boxed{m\approx 2{,}3\times 10^{14}\;\text{kg}}

4. On divise cette masse par la production annuelle : $\frac{2{,}3\times 10^{14}}{8\times 10^{11}}=0{,}2875\times 10^{3}\approx 288$

\boxed{\text{il faudrait environ }288\text{ années de production mondiale}}

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