Exercice 37

1. On calcule d'abord le carré, puis on regroupe les puissances de $10$ : $$\begin{aligned} N &= \frac{\left(2\times 10^{-3}\right)^2\times 15\times 10^{5}}{4\times 10^{-1}}\\ &= \frac{4\times 10^{-6}\times 15\times 10^{5}}{4\times 10^{-1}}\\ &= \frac{60\times 10^{-1}}{4\times 10^{-1}}=\frac{60}{4} \end{aligned}$$

2. Le nombre $N$ vaut $15$ : c'est un entier naturel, et donc également un nombre décimal (puisque $\mathbb{N}\subset\mathbb{D}$) : $$\boxed{N\in\mathbb{N}\text{ et }N\in\mathbb{D}}$$

3. On simplifie la fraction : $$\frac{N}{9}=\frac{15}{9}=\frac{3\times 5}{3\times 3}=\frac{5}{3}=1{,}666\ldots$$ Cette écriture décimale ne s'arrête pas : $$\boxed{\frac{N}{9}\text{ n'est pas un nombre décimal}}$$

4. Comme $14\leqslant 15\leqslant 16$, le nombre $N$ appartient au premier intervalle. En revanche la borne $15$ est exclue du second (crochet vers l'extérieur) : $$\boxed{N\in[14\,;16] \qquad\text{mais}\qquad N\notin\;]15\,;20]}$$