Exercice 36

1. Les deux bornes appartenant à l'intervalle, les inégalités sont larges : $$\boxed{x\in[2\,;5] \iff 2\leqslant x\leqslant 5}$$

2. On multiplie l'encadrement par $3$, puis on lui ajoute $4$, ce qui ne change pas le sens des inégalités : $$2\leqslant x\leqslant 5 \implies \boxed{6\leqslant 3x\leqslant 15}$$

$$2\leqslant x\leqslant 5 \implies \boxed{6\leqslant x+4\leqslant 9}$$ En enlevant enfin $1$ au premier encadrement : $$\boxed{5\leqslant 3x-1\leqslant 14}$$

3. Multiplier par un nombre négatif inverse le sens des inégalités : $$2\leqslant x\leqslant 5 \implies -4\geqslant -2x\geqslant -10 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{-10\leqslant -2x\leqslant -4}$$

4. Les trois nombres de l'encadrement étant positifs, on peut élever au carré sans changer le sens des inégalités, et passer à l'inverse en le changeant : $$2\leqslant x\leqslant 5 \implies \boxed{4\leqslant x^2\leqslant 25}$$

5. On part de $-1<y<4$, on multiplie par $-2$ (ce qui inverse le sens), puis on ajoute $5$ : $$-1<y<4 \implies 2>-2y>-8 \implies -8<-2y<2 \implies -3<5-2y<7$$