Exercice 32

1. La hausse a pour coefficient $1+t$. L'évolution réciproque doit ramener à la valeur de départ, donc le produit des deux coefficients doit valoir $1$ : $$(1+t)\times\mathrm{CM}'=1 \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\mathrm{CM}'=\frac{1}{1+t}}$$

2. On en déduit le taux en retranchant $1$, puis en réduisant au même dénominateur : $$t'=\mathrm{CM}'-1=\frac{1}{1+t}-\frac{1+t}{1+t}=\frac{1-(1+t)}{1+t}=\boxed{\frac{-t}{1+t}}$$

3. Pour $t=0{,}25$ : $$t'=\frac{-0{,}25}{1{,}25}=-0{,}2=\boxed{-20\,\%}$$ On retrouve bien le résultat du cours : une hausse de $25\,\%$ s'annule par une baisse de $20\,\%$.

4.

5. Dans les quatre cas, $|t'|$ est strictement inférieur à $t$ : $9{,}09<10$, $16{,}67<20$, $33{,}33<50$ et $50<100$. $$\boxed{\text{Conjecture : pour tout } t>0,\ |t'|<t.}$$

6. On a $|t'|=\dfrac{t}{1+t}$. Comme $t>0$, on a $1+t>1$, et diviser par un nombre strictement supérieur à $1$ diminue : $$\frac{t}{1+t}<\frac{t}{1}=t$$

$$\boxed{\text{La conjecture est démontrée : } |t'|<t.}$$ Interprétation : la baisse réciproque s'applique à une quantité devenue plus grande, elle peut donc être proportionnellement plus faible pour retirer la même chose.

7. Lorsque $t$ devient très grand, le quotient $\dfrac{t}{1+t}$ se rapproche de $1$ sans jamais l'atteindre : par exemple $t=99$ donne $|t'|=\dfrac{99}{100}=0{,}99$. $$\boxed{t' \text{ se rapproche de } -100\,\%.}$$ Interprétation : si un prix est multiplié par un très grand nombre, il faut le réduire de presque tout — mais jamais de la totalité, ce qui l'annulerait.