Exercice 31

1. La hausse de $t$ a pour coefficient $\boxed{1+t}$, et la baisse de $t$ a pour coefficient $\boxed{1-t}$.

2. Les coefficients se multiplient : $$\boxed{\mathrm{CM}_{\text{global}}=(1+t)(1-t)}$$

3. On reconnaît l'identité remarquable $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ avec $a=1$ et $b=t$ : $$\boxed{(1+t)(1-t)=1-t^{2}}$$

4. Comme $0<t<1$, on a $t^{2}>0$, donc $1-t^{2}<1$. $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Le coefficient global est strictement inférieur à } 1 \text{ : le prix final est}\\[1mm] \text{toujours strictement inférieur au prix initial, quelle que soit la valeur de } t. \end{array}}$$

5.

• $t=0{,}1$ : $\mathrm{CM}=1-0{,}01=0{,}99$, soit $\boxed{-1\,\%}$ ;

• $t=0{,}2$ : $\mathrm{CM}=1-0{,}04=0{,}96$, soit $\boxed{-4\,\%}$ ;

• $t=0{,}5$ : $\mathrm{CM}=1-0{,}25=0{,}75$, soit $\boxed{-25\,\%}$.

On retrouve les résultats des exercices 19 et 17.c). La perte augmente très vite avec $t$, puisqu'elle vaut exactement $t^{2}$.

6. Il faudrait $1-t^{2}=1$, c'est-à-dire $t^{2}=0$, donc $t=0$ : $$\boxed{\text{aucune valeur de } t \text{ dans } ]0\,;1[ \text{ ne convient.}}$$

7. Une perte de $9\,\%$ signifie $\mathrm{CM}=0{,}91$, donc $$1-t^{2}=0{,}91 \iff t^{2}=0{,}09 \iff t=0{,}3$$ (on ne retient que la solution positive, car $0<t<1$) $$\boxed{t=30\,\%}$$

8. L'expression $(1+t)(1-t)$ est un produit, et la multiplication est commutative : on obtiendrait $(1-t)(1+t)$, c'est-à-dire le même nombre. $$\boxed{\text{Le résultat final est identique, quel que soit l'ordre choisi.}}$$