Exercice 18

1. Il faut cinq entiers dont la troisième valeur, une fois rangés, vaut $12$, et dont la somme vaut $5 \times 14 = 70$. Par exemple : $$\boxed{8 \;;\; 10 \;;\; 12 \;;\; 15 \;;\; 25}$$ On vérifie : la médiane est bien la troisième valeur, $12$, et $\dfrac{8+10+12+15+25}{5} = \dfrac{70}{5} = 14$.

D'autres réponses conviennent, par exemple $9 \;;\; 11 \;;\; 12 \;;\; 13 \;;\; 25$.

2. Avec $N = 6$, la médiane est la demi-somme des troisième et quatrième valeurs : il suffit que ces deux-là soient symétriques autour de $10$ sans valoir $10$. Par exemple : $$\boxed{8 \;;\; 9 \;;\; 9 \;;\; 11 \;;\; 12 \;;\; 15}$$ On vérifie : $M = \dfrac{9 + 11}{2} = 10$, et aucune valeur de la série ne vaut $10$.

3. Par définition, au moins la moitié des données sont supérieures ou égales à la médiane. Si $M$ était strictement supérieure à toutes les valeurs, aucune donnée ne lui serait supérieure ou égale. $$\boxed{\text{Non, c'est impossible : la médiane est toujours comprise entre le minimum et le maximum.}}$$