Exercice 1

Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : «\,u_n=9\times 2^n+5\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$ : $9\times 2^0+5=9+5=14=u_0$. Donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons que $P_k$ est vraie, autrement dit que $u_k=9\times 2^k+5$. Alors : $$\begin{aligned} u_{k+1} &= 2u_k-5\\ &= 2\left(9\times 2^k+5\right)-5 \qquad\text{d'après } P_k\\ &= 9\times 2^{k+1}+10-5\\ &= 9\times 2^{k+1}+5 \end{aligned}$$ ce qui prouve $P_{k+1}$. La propriété est donc héréditaire.

Conclusion : Par principe de récurrence : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\; u_n=9\times 2^n+5}$$