Feuille d'exercicesTerminale, chapitre 1

Suites numériques

33 exercices corrigés · 19   12   2

Raisonnement par récurrence

• Exercice 1 Soit la suite (u_n) définie sur ℕ par: begin cases u_0 = 14 u_(n+1) = 2u_n - 5 end cases Montrer par récurrence que: ∀ n ∈ ℕ, u_n = 9 × 2^n + 5.
• Exercice 2 Soit u la suite définie par u_0 = 10 et pour tout n ∈ ℕ, u_(n+1) = √(u_n + 5). Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que pour tout n ∈…
• Exercice 3 Soit u la suite définie par u_0 = 2 et pour tout n ∈ ℕ, u_(n+1) = √(u_n + 15). Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que pour tout n ∈…
• Exercice 4 Soit u la suite définie par u_0 = 1/2 et pour tout n ∈ ℕ, u_(n+1) = (3u_n)/(1 + 2u_n). Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que pour…
• Exercice 5 La suite (u_n) est définie par: u_1 = 0 et u_(n+1) = 1/(2 - u_n) 1. Calculer u_2, u_3, u_4. 2. Que peut-on faire comme conjecture sur l'expression…
• Exercice 6 Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 0 et pour tout n ∈ ℕ, u_(n+1) = 3u_n - 2n + 3. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u_n ≥ n.
• Exercice 7 Soit (v_n) la suite définie par v_0 = 0 et pour tout n ∈ ℕ, v_(n+1) = 9/(6 - v_n). Démontrer que, pour tout entier naturel n, 0 ≤ v_n < 3.
• Exercice 8 Soit u la suite définie par u_0 = 1 et pour tout n ∈ ℕ, u_(n+1) = u_n + 2n + 3. Montrer que pour tout n ∈ ℕ, u_n = (n+1)^2.
• Exercice 9 Soit la suite (u_n) définie pour n ≥ 1 par: u_n = 1× 2 + 2× 3 + 3× 4 + … + n(n+1). 1. Déterminer u_1, u_2, u_3 puis déterminer une relation entre…
• Exercice 10 · Somme des carrés On pose pour n ≥ 1, S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2. 1. Calculer S_1, S_2, S_3 et S_4. Exprimer S_(n+1) en fonction de S_n. 2. Démontrer par…
• Exercice 11 · Somme des cubes On pose pour n ≥ 1, S_n = 1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3. 1. Calculer S_1, S_2, S_3 et S_4. Exprimer S_(n+1) en fonction de S_n. 2. Démontrer par…
• Exercice 12 La suite (u_n) est la suite définie sur ℕ par: begin cases u_0 ∈ ]0;1[ u_(n+1) = u_n(2 - u_n) end cases 1. Montrer que la fonction f définie par…
• Exercice 13 On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 3 et pour tout entier naturel n, u_(n+1) = (4u_n - 2)/(u_n + 1). 1. Étudier les variations de la…
• Exercice 14 Démontrer par récurrence que: 1. ∀ n ∈ ℕ, 4^n + 5 est un multiple de 3. 2. ∀ n ∈ ℕ, 3^2n - 1 est un multiple de 8. 3. ∀ n ∈ ℕ, 3^(2n+1) + 2^(n+2)…
• Exercice 15 · Type Bac Soit la suite (u_n) définie par u_0 = 2 et ∀ n ∈ ℕ, u_(n+1) = 2/3 u_n + 1/3 n + 1. 1. Calculer les 5 premiers termes de la suite. Quelle conjecture…
• Exercice 16 · Python On considère la suite (u_n) définie par: begin cases u_0 = 5 u_(n+1) = (1 + 2/(n+1))u_n + 6/(n+1) end cases 1) a) Calculer u_1; u_2 et u_3 b) Soit…
• Exercice 17 Rappel: pour tout n ∈ ℕ^, la factorielle de n, notée n!, est définie par n! = 1 × 2 × 3 × … × n, avec la convention 0! = 1 Démontrer que, pour tout…
• Exercice 18 Montrer que, si n ∈ ℕ, il existe un entier impair λ_n tel que 5^(2^n) = 1 + λ_n 2^(n+2).

Limites de suites

• Exercice 19 Déterminer la limite de chacune des suites (u_n) suivantes définies pour tout n∈ ℕ^(), par: a) u_n=3n+2 b) u_n=-5n^2+√2 c) u_n=π+ (2/3)^n d) u_n=-…
• Exercice 20 Déterminer la limite de la suite (u_n) dans les cas suivants: 1. u_n = (2n+5)/(3n-2) 2. u_n = n/4 - 2 + 2n/(n^2+5) 3. u_n = (-3n^2+2n+1)/(2(n+1)^2)…
• Exercice 21 À l'aide des théorèmes de comparaison, déterminer la limite de chacune des suites (v_n) suivantes définies pour tout n∈ ℕ^(), par: a) v_n= (cos…
• Exercice 22 Soit la suite u définie par u_0 = 5 et u_(n+1) = √(3u_n + 1) 1. Montrer que (u_n) est décroissante. 2. Montrer que la suite (u_n) est minorée. 3. En…
• Exercice 23 Soit la suite (u_n) définie par u_0 = 0 et u_(n+1) = √(u_n + 5). 1. Montrer que cette suite est croissante. 2. Montrer que pour tout entier n, 0 ≤…
• Exercice 24 (u_n) est la suite définie par u_0 = 3 et, pour tout entier n, u_(n+1) = (3u_n)/(3 + 2u_n). Pour tout entier n, on pose v_n = 3/(u_n). 1. Démontrer…
• Exercice 25 Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 2 et pour tout n ∈ ℕ, u_(n+1) = 3u_n. 1. À l'aide de la calculatrice, conjecturer la limite de la suite (u_n).…
• Exercice 26 Soit (v_n) la suite définie pour tout n ∈ ℕ, v_n = 1/(2n+1). 1. À l'aide de la calculatrice, conjecturer la limite de la suite (v_n). 2. On veut…
• Exercice 27 On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 2 et, pour tout entier n, u_(n+1) = 1/4 u_n + 6 et la suite (v_n) définie sur ℕ par v_n = u_n - 8. 1.…
• Exercice 28 On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 5 et, pour tout entier n, 3u_(n+1) = u_n + 4. 1. Calculer u_1 et u_2. 2. Démontrer que, pour tout…
• Exercice 29 Soit la suite (u_n)_(n∈ℕ) définie par u_0 = 2 et, pour tout entier n, u_(n+1) = (5u_n - 1)/(u_n + 3). 1ʳᵉ méthode a) Vérifier que pour tout n ∈ ℕ,…
• Exercice 30 Soit la suite (u_n) définie sur ℕ^ par u_1 = 3/2 et u_(n+1) = (nu_n + 1)/(2(n+1)). On pose, pour n ∈ ℕ^, v_n = nu_n - 1. 1. Montrer que (v_n) est…
• Exercice 31 · Deux méthodes pour déterminer la limite d'une suite La suite (u_n) est définie sur ℕ par: u_0 = 0 et u_(n+1) = (2u_n+1)/(u_n+2). Partie A: première méthode 1. Montrer que: ∀ n ∈ ℕ, u_(n+1) = 2 -…
• Exercice 32 Partie A On considère la suite (u_n) définie sur ℕ par: u_0 = 2 et u_(n+1) = (1+3u_n)/(3+u_n). On admet que tous les termes de cette suite sont…
• Exercice 33 · Type Bac On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 1/2 et telle que pour tout entier naturel n, u_(n+1) = (3u_n)/(1+2u_n). 1. Étudier le sens de…