Exercice 15 Type Bac

1. On applique la relation de récurrence : $$u_0=2 \;;\; u_1=\frac{7}{3}\approx 2{,}33 \;;\; u_2=\frac{26}{9}\approx 2{,}89 \;;\; u_3=\frac{97}{27}\approx 3{,}59 \;;\; u_4=\frac{356}{81}\approx 4{,}40$$

2. (a) Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : «\,u_n\leqslant n+3\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$ : $u_0=2\leqslant 3$. Donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons que $u_k\leqslant k+3$. En multipliant par $\dfrac{2}{3}>0$ puis en ajoutant $\dfrac{1}{3}k+1$ : $$\begin{aligned} u_{k+1}=\frac{2}{3}u_k+\frac{1}{3}k+1 &\leqslant \frac{2}{3}(k+3)+\frac{1}{3}k+1\\ &\leqslant \frac{2}{3}k+2+\frac{1}{3}k+1\\ &\leqslant k+3\leqslant (k+1)+3 \end{aligned}$$ ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\; u_n\leqslant n+3}$$

(b) Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$\begin{aligned} u_{n+1}-u_n &= \frac{2}{3}u_n+\frac{1}{3}n+1-u_n\\ &= -\frac{1}{3}u_n+\frac{1}{3}n+1\\ &= \frac{1}{3}\left(n+3-u_n\right) \end{aligned}$$ Or d'après la question précédente $u_n\leqslant n+3$, donc $n+3-u_n\geqslant 0$ et ainsi $u_{n+1}-u_n\geqslant 0$ : $$\boxed{(u_n)\text{ est croissante}}$$

3. Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$\begin{aligned} v_{n+1} &= u_{n+1}-(n+1)\\ &= \frac{2}{3}u_n+\frac{1}{3}n+1-n-1\\ &= \frac{2}{3}u_n-\frac{2}{3}n\\ &= \frac{2}{3}\left(u_n-n\right)=\frac{2}{3}v_n \end{aligned}$$ La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$, de premier terme $v_0=u_0-0=2$. On en déduit que $v_n=2\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$, puis que $u_n=v_n+n$ : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\; u_n=2\left(\frac{2}{3}\right)^n+n}$$