Exercice 16 Python

1. (a) On applique la relation de récurrence : $$u_1=\left(1+\frac{2}{1}\right)\times 5+\frac{6}{1}=15+6=21$$

(b) On peut proposer la fonction suivante :

def p(n):
    u = 5
    for k in range(n):
        w = (1 + 2/(k+1))*u + 6/(k+1)   # w vaut u(k+1)
        print("d", k, "=", w - u)       # terme d(k)
        print("u", k+1, "=", w)         # terme u(k+1)
        u = w

(c) En poursuivant les calculs, on obtient :

Les termes de $(d_n)$ augmentent de $8$ à chaque rang : $$\boxed{\text{On conjecture que }(d_n)\text{ est arithmétique de raison }8}$$

2. Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : «\,u_n=4n^2+12n+5\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$ : $4\times 0+12\times 0+5=5=u_0$. Donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons que $u_k=4k^2+12k+5$. Alors, en réduisant au même dénominateur $k+1$ : $$\begin{aligned} u_{k+1} &= \left(1+\frac{2}{k+1}\right)u_k+\frac{6}{k+1}\\ &= \frac{k+3}{k+1}\left(4k^2+12k+5\right)+\frac{6}{k+1}\\ &= \frac{(k+3)\left(4k^2+12k+5\right)+6}{k+1}\\ &= \frac{4k^3+24k^2+41k+21}{k+1} \end{aligned}$$ Or on constate que : $$(k+1)\left(4(k+1)^2+12(k+1)+5\right)=(k+1)\left(4k^2+20k+21\right)=4k^3+24k^2+41k+21$$ On en déduit donc que $u_{k+1}=4(k+1)^2+12(k+1)+5$, ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\; u_n=4n^2+12n+5}$$

3. D'après la question précédente, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$\begin{aligned} d_n=u_{n+1}-u_n &= \left(4(n+1)^2+12(n+1)+5\right)-\left(4n^2+12n+5\right)\\ &= 4n^2+8n+4+12n+12+5-4n^2-12n-5\\ &= 8n+16 \end{aligned}$$ On calcule alors la différence de deux termes consécutifs : $$d_{n+1}-d_n=8(n+1)+16-8n-16=8$$ Cette différence étant constante, la conjecture est validée : $$\boxed{(d_n)\text{ est arithmétique de raison }8\text{ et de premier terme }d_0=16}$$