Exercice 17

Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\in\mathbb{N}^*,\quad P_n : «\,2^{n-1}\leqslant n!\leqslant n^n\,»$$

Initialisation : Pour $n=1$ : $2^0=1$, $1!=1$ et $1^1=1$, donc $1\leqslant 1\leqslant 1$ et $P_1$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\geqslant 1$. Supposons que $2^{k-1}\leqslant k!\leqslant k^k$. On multiplie ces inégalités par $k+1>0$, en remarquant que $(k+1)!=(k+1)\times k!$ :

$\bullet$ Pour la minoration, comme $k+1\geqslant 2$ : $$(k+1)!=(k+1)\times k!\geqslant (k+1)\times 2^{k-1}\geqslant 2\times 2^{k-1}=2^{k}$$

$\bullet$ Pour la majoration, comme $k\leqslant k+1$ et donc $k^k\leqslant (k+1)^k$ : $$(k+1)!=(k+1)\times k!\leqslant (k+1)\times k^k\leqslant (k+1)\times (k+1)^k=(k+1)^{k+1}$$

On obtient donc $2^{(k+1)-1}\leqslant (k+1)!\leqslant (k+1)^{k+1}$, ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N}^*,\; 2^{n-1}\leqslant n!\leqslant n^n}$$