Exercice 18

Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : «\,\text{il existe un entier impair }\lambda_n\text{ tel que } 5^{2^n}=1+\lambda_n 2^{n+2}\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$ : $5^{2^0}=5^1=5$ et $1+1\times 2^2=5$. En posant $\lambda_0=1$, qui est bien impair, $P_0$ est donc vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons qu'il existe un entier impair $\lambda_k$ tel que $5^{2^k}=1+\lambda_k2^{k+2}$. En remarquant que $2^{k+1}=2\times 2^k$, on peut écrire : $$\begin{aligned} 5^{2^{k+1}} &= \left(5^{2^k}\right)^2=\left(1+\lambda_k2^{k+2}\right)^2\\ &= 1+2\lambda_k2^{k+2}+\lambda_k^2\,2^{2k+4}\\ &= 1+\lambda_k2^{k+3}+\lambda_k^2\,2^{k+3}\times 2^{k+1}\\ &= 1+\underbrace{\left(\lambda_k+\lambda_k^2\,2^{k+1}\right)}_{=\;\lambda_{k+1}}2^{(k+1)+2} \end{aligned}$$ Or $k+1\geqslant 1$, donc $\lambda_k^2\,2^{k+1}$ est un entier pair ; comme $\lambda_k$ est impair, la somme $\lambda_{k+1}=\lambda_k+\lambda_k^2\,2^{k+1}$ est un entier impair, ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\;\exists\,\lambda_n\text{ impair tel que } 5^{2^n}=1+\lambda_n2^{n+2}}$$