Exercice 19

On utilise les limites de référence et les opérations sur les limites.

a) $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n=+\infty$, donc par produit et somme : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty}$

b) $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} -5n^2=-\infty$, donc par somme avec la constante $\sqrt{2}$ : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=-\infty}$

c) Comme $-1<\dfrac{2}{3}<1$, on a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n=0$, donc par somme : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=\pi}$

d) Comme $\dfrac{5}{4}>1$, on a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{5}{4}\right)^n=+\infty$, donc par produit par $-1$ : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=-\infty}$

e) $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} (n^2+1)=+\infty$, donc par produit : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty}$

f) $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} (n+1)=+\infty$, donc par quotient : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=0}$

g) $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} -\sqrt{n}=-\infty$, donc par somme : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=-\infty}$

h) Comme $-1<\dfrac{1}{4}<1$, on a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0$, donc : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=1}$

i) C'est une forme indéterminée $\infty-\infty$ ; on factorise par le terme dominant : $$u_n=n^2\left(1-\frac{2}{n}\right)$$ Or $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1-\dfrac{2}{n}\right)=1$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n^2=+\infty$, donc par produit : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty}$

j) $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0$, donc le dénominateur tend vers $-4$, et par quotient : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=-\frac{3}{4}}$

k) C'est une forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$ ; on factorise par $n^2$ au numérateur et au dénominateur : $$u_n=\frac{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(3+\frac{5}{n^2}\right)} =\frac{1+\frac{1}{n^2}}{3+\frac{5}{n^2}}$$ Le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur vers $3$ : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=\frac{1}{3}}$

l) Forme indéterminée $-\infty+\infty$ ; on factorise par $n$ : $$u_n=n\left(-2+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$$ Or $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(-2+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=-2$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n=+\infty$, donc par produit : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=-\infty}$

m) On factorise par le terme dominant : $$u_n=\frac{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}{n^2\left(\frac{3}{n^2}-1\right)} =\frac{1}{n}\times\frac{1+\frac{1}{n}}{\frac{3}{n^2}-1}$$ Le second facteur tend vers $-1$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0$, donc : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=0}$

n) Les deux carrés tendent vers $+\infty$, donc par somme : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty}$

o) C'est une forme indéterminée ; on reconnaît une différence de deux carrés : $$\begin{aligned} u_n &= \big[(n-1)-(2-n)\big]\big[(n-1)+(2-n)\big]\\ &= (2n-3)\times 1=2n-3 \end{aligned}$$ d'où : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty}$