Exercice 20

Dans chaque cas, on lève la forme indéterminée en factorisant par le terme dominant, ou en multipliant par la quantité conjuguée.

1. $u_n=\dfrac{n\left(2+\frac{5}{n}\right)}{n\left(3-\frac{2}{n}\right)} =\dfrac{2+\frac{5}{n}}{3-\frac{2}{n}}$, d'où : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=\frac{2}{3}}$

2. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n}{4}=+\infty$ et, par le même procédé qu'à l'exercice 19, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{2n}{n^2+5}=0$. Par somme : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty}$

3. En développant le dénominateur puis en factorisant par $n^2$ : $$u_n=\frac{n^2\left(-3+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{2n^2\left(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\right)} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=-\frac{3}{2}}$$

4. $u_n=\dfrac{n\left(10-\frac{3}{n}\right)}{n^2\left(1-\frac{2}{n^2}\right)} =\dfrac{1}{n}\times\dfrac{10-\frac{3}{n}}{1-\frac{2}{n^2}}$, d'où : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=0}$

5. $u_n=\dfrac{n^2\left(2-\frac{1}{n^2}\right)}{n\left(3+\frac{2}{n}\right)} =n\times\dfrac{2-\frac{1}{n^2}}{3+\frac{2}{n}}$. Le second facteur tend vers $\dfrac{2}{3}>0$, donc par produit : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty}$

6. On réduit d'abord au même dénominateur : $$u_n=\frac{3n^2-4-3n(n+1)}{n+1}=\frac{-3n-4}{n+1}=\frac{n\left(-3-\frac{4}{n}\right)}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}$$ d'où : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=-3}$

7. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(2\sqrt{n}+17\right)=+\infty$, donc par quotient : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=0}$

8. On factorise par $\sqrt{n}$ au numérateur et au dénominateur : $$u_n=\frac{\sqrt{n}\sqrt{3+\frac{1}{n}}}{\sqrt{n}\left(\frac{3}{\sqrt{n}}+1\right)} =\frac{\sqrt{3+\frac{1}{n}}}{\frac{3}{\sqrt{n}}+1}$$ Le numérateur tend vers $\sqrt{3}$ et le dénominateur vers $1$ : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=\sqrt{3}}$

9. On procède de même en factorisant par $n^2$ sous chaque racine : $$u_n=\frac{n\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}}{n\sqrt{1-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}}$$ Les deux racines tendent vers $1$, d'où : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=1}$

10. Forme indéterminée $\infty-\infty$ ; on multiplie par la quantité conjuguée : $$u_n=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$ Le dénominateur tend vers $+\infty$, d'où : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=0}$

11. On procède de même : $$u_n=\frac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}+n} =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$$ Le dénominateur tend vers $2$, d'où : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=\frac{1}{2}}$