Exercice 21

On utilise l'encadrement $-1\leqslant\cos(x)\leqslant 1$ (et de même pour le sinus), ainsi que $-1\leqslant(-1)^n\leqslant 1$.

a) Pour tout $n\geqslant 1$ : $-\dfrac{1}{n}\leqslant v_n\leqslant\dfrac{1}{n}$. Ces deux bornes tendent vers $0$, donc d'après le théorème des gendarmes : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} v_n=0}$

b) Pour tout $n$ : $v_n\geqslant 4n-1$, et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(4n-1)=+\infty$, donc par comparaison : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} v_n=+\infty}$

c) Pour tout $n\geqslant 1$ : $-\dfrac{1}{n^4}\leqslant\dfrac{\sin(n)}{n^4}\leqslant\dfrac{1}{n^4}$, donc $3-\dfrac{1}{n^4}\leqslant v_n\leqslant 3+\dfrac{1}{n^4}$. D'après le théorème des gendarmes : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} v_n=3}$

d) Pour tout $n$, on a $v_n\leqslant -5n+2$. Or $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(-5n+2)=-\infty$, donc par comparaison : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} v_n=-\infty}$

e) Pour tout $n\geqslant 4$ : $-\dfrac{1}{n-3}\leqslant v_n\leqslant\dfrac{1}{n-3}$, et ces deux bornes tendent vers $0$, donc d'après le théorème des gendarmes : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} v_n=0}$

f) Pour tout $n$ : $1\leqslant 2\cos(n)+3\leqslant 5$, donc $\dfrac{1}{n^2+5}\leqslant v_n\leqslant\dfrac{5}{n^2+5}$. Ces deux bornes tendent vers $0$, d'où : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} v_n=0}$

g) Pour tout $n\geqslant 1$ : $-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leqslant u_n\leqslant\dfrac{1}{\sqrt{n}}$, d'où d'après le théorème des gendarmes : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=0}$

h) Pour tout $n$ : $u_n\geqslant n^2-4$, et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(n^2-4)=+\infty$, donc par comparaison : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty}$

i) Pour tout $n$ : $u_n\geqslant n+1-1=n$, et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n=+\infty$, donc par comparaison : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty}$

j) Pour tout $n\geqslant 2$ : $$\frac{n-1}{n^2-1}\leqslant\frac{n+(-1)^n}{n^2-1}\leqslant\frac{n+1}{n^2-1} \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \frac{1}{n+1}\leqslant\frac{n+(-1)^n}{n^2-1}\leqslant\frac{1}{n-1}$$ Ces deux bornes tendent vers $0$, donc le quotient tend vers $0$ d'après le théorème des gendarmes, et par somme : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=-2}$