Exercice 22

1. La suite est définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ où $f(x)=\sqrt{3x+1}$, fonction croissante sur $\left[-\frac{1}{3}\,;+\infty\right[$ comme composée de la fonction affine croissante $x\mapsto 3x+1$ et de la fonction racine carrée, croissante.

Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : «\,u_{n+1}\leqslant u_n\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$ : $u_1=\sqrt{3\times 5+1}=\sqrt{16}=4\leqslant 5=u_0$. Donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons que $u_{k+1}\leqslant u_k$. En appliquant la fonction $f$, croissante : $$u_{k+1}\leqslant u_k \implies f(u_{k+1})\leqslant f(u_k) \implies u_{k+2}\leqslant u_{k+1}$$ ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $\boxed{(u_n)\text{ est décroissante}}$

2. Démontrons par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N},\; Q_n : «\,u_n\geqslant 0\,»$.

Initialisation : $u_0=5\geqslant 0$, donc $Q_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Si $u_k\geqslant 0$, alors $3u_k+1\geqslant 1>0$, donc $u_{k+1}$ est bien défini et, en tant que racine carrée, $u_{k+1}=\sqrt{3u_k+1}\geqslant 0$, ce qui prouve $Q_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $\boxed{(u_n)\text{ est minorée par }0}$

3. La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$ : d'après le théorème de convergence monotone, on en déduit que : $$\boxed{(u_n)\text{ est convergente}}$$