Exercice 23

1. La suite est définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ où $f(x)=\sqrt{x+5}$, croissante sur $[-5\,;+\infty[$. Démontrons par récurrence la propriété : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : «\,u_n\leqslant u_{n+1}\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$ : $u_1=\sqrt{0+5}=\sqrt{5}\geqslant 0=u_0$. Donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons que $u_k\leqslant u_{k+1}$. En appliquant $f$, croissante : $$u_k\leqslant u_{k+1} \implies f(u_k)\leqslant f(u_{k+1}) \implies u_{k+1}\leqslant u_{k+2}$$ ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $\boxed{(u_n)\text{ est croissante}}$

2. Démontrons par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N},\; Q_n : «\,0\leqslant u_n\leqslant 3\,»$.

Initialisation : $u_0=0$ et $0\leqslant 0\leqslant 3$, donc $Q_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons que $0\leqslant u_k\leqslant 3$. Alors : $$5\leqslant u_k+5\leqslant 8 \implies \sqrt{5}\leqslant u_{k+1}\leqslant\sqrt{8}$$ Or $\sqrt{5}\geqslant 0$ et $\sqrt{8}\leqslant\sqrt{9}=3$, donc $0\leqslant u_{k+1}\leqslant 3$, ce qui prouve $Q_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence, $0\leqslant u_n\leqslant 3$ pour tout $n$. La suite $(u_n)$ étant croissante et majorée par $3$, le théorème de convergence monotone donne : $$\boxed{(u_n)\text{ est convergente}}$$

3. Notons $\ell$ sa limite. Comme $(u_{n+1})$ a la même limite que $(u_n)$, on passe à la limite dans la relation de récurrence : $$\ell=\sqrt{\ell+5} \implies \ell^2=\ell+5 \implies \ell^2-\ell-5=0$$ Le discriminant de cette équation vaut $\Delta=1+20=21>0$, et ses deux solutions sont $\dfrac{1\pm\sqrt{21}}{2}$. Or $\ell\geqslant 0$ d'après la question 2., ce qui élimine la solution négative : $$\boxed{\ell=\frac{1+\sqrt{21}}{2}\approx 2{,}79}$$