Exercice 24

1. On montre d'abord, comme à l'exercice 4, que $u_n>0$ pour tout $n$ (récurrence immédiate à partir de $u_0=3>0$), ce qui garantit que $v_n$ est bien défini. Alors, pour tout $n$ : $$\begin{aligned} v_{n+1} &= \frac{3}{u_{n+1}}=\frac{3}{\frac{3u_n}{3+2u_n}}\\ &= \frac{3\left(3+2u_n\right)}{3u_n}=\frac{3+2u_n}{u_n}\\ &= \frac{3}{u_n}+2=v_n+2 \end{aligned}$$ La différence entre deux termes consécutifs étant constante : $$\boxed{(v_n)\text{ est arithmétique de raison }2\text{ et de premier terme }v_0=1}$$

2. On en déduit que $v_n=1+2n$, puis que $u_n=\dfrac{3}{v_n}$ : $$u_n=\frac{3}{2n+1}$$ Or $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(2n+1)=+\infty$, donc par quotient : $$\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=0}$$