Exercice 14

1. Démontrons par récurrence la propriété : $\forall n\in\mathbb{N},\; P_n : «\,{3}\text{ divise } 4^n+5\,»$.

Initialisation : Pour $n=0$ : $4^0+5=6=3\times 2$. Donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons qu'il existe $m\in\mathbb{Z}$ tel que $4^k+5=3m$, autrement dit $4^k=3m-5$. Alors : $$\begin{aligned} 4^{k+1}+5 &= 4\times 4^k+5\\ &= 4(3m-5)+5\\ &= 12m-15=3(4m-5) \end{aligned}$$ et $4m-5$ est un entier, ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\; 4^n+5\text{ est un multiple de }3}$

2. Démontrons par récurrence la propriété : $\forall n\in\mathbb{N},\; P_n : «\,{8}\text{ divise } 3^{2n}-1\,»$.

Initialisation : Pour $n=0$ : $3^0-1=0=8\times 0$. Donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons qu'il existe $m\in\mathbb{Z}$ tel que $3^{2k}-1=8m$, autrement dit $3^{2k}=8m+1$. Alors : $$\begin{aligned} 3^{2(k+1)}-1 &= 3^{2k+2}-1=9\times 3^{2k}-1\\ &= 9(8m+1)-1\\ &= 72m+8=8(9m+1) \end{aligned}$$ et $9m+1$ est un entier, ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\; 3^{2n}-1\text{ est un multiple de }8}$

3. Démontrons par récurrence la propriété : $\forall n\in\mathbb{N},\; P_n : «\,{7}\text{ divise } 3^{2n+1}+2^{n+2}\,»$.

Initialisation : Pour $n=0$ : $3^1+2^2=3+4=7=7\times 1$. Donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons qu'il existe $m\in\mathbb{Z}$ tel que $3^{2k+1}+2^{k+2}=7m$, autrement dit $3^{2k+1}=7m-2^{k+2}$. Alors : $$\begin{aligned} 3^{2(k+1)+1}+2^{(k+1)+2} &= 9\times 3^{2k+1}+2\times 2^{k+2}\\ &= 9\left(7m-2^{k+2}\right)+2\times 2^{k+2}\\ &= 63m-7\times 2^{k+2}\\ &= 7\left(9m-2^{k+2}\right) \end{aligned}$$ et $9m-2^{k+2}$ est un entier, ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\; 3^{2n+1}+2^{n+2}\text{ est un multiple de }7}$

4. Démontrons par récurrence la propriété : $\forall n\geqslant 1,\; P_n : «\,{3}\text{ divise } n^3+2n\,»$.

Initialisation : Pour $n=1$ : $1+2=3=3\times 1$. Donc $P_1$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\geqslant 1$. Supposons qu'il existe $m\in\mathbb{Z}$ tel que $k^3+2k=3m$. Alors : $$\begin{aligned} (k+1)^3+2(k+1) &= k^3+3k^2+3k+1+2k+2\\ &= \left(k^3+2k\right)+3k^2+3k+3\\ &= 3m+3\left(k^2+k+1\right)\\ &= 3\left(m+k^2+k+1\right) \end{aligned}$$ et $m+k^2+k+1$ est un entier, ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $\boxed{\forall n\geqslant 1,\; n^3+2n\text{ est un multiple de }3}$