Exercice 13

1. La fonction $f$ est dérivable sur $]-1\,;+\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas, et pour tout $x>-1$ : $$f'(x)=\frac{4(x+1)-(4x-2)\times 1}{(x+1)^2}=\frac{4x+4-4x+2}{(x+1)^2}=\frac{6}{(x+1)^2}$$ Ce quotient est strictement positif, donc : $$\boxed{f\text{ est croissante sur }]-1\,;+\infty[}$$

2. Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : «\,u_n>2\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$ : $u_0=3>2$. Donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons que $u_k>2$. Comme $2>-1$, on peut appliquer la fonction $f$, croissante sur $]-1\,;+\infty[$ : $$u_k>2 \implies f(u_k)>f(2) \implies u_{k+1}>\frac{4\times 2-2}{2+1}=2$$ ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\; u_n>2}$$

3. Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad Q_n : «\,u_{n+1}\leqslant u_n\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$ : $u_1=\dfrac{4\times 3-2}{3+1}=\dfrac{10}{4}=2{,}5\leqslant 3=u_0$. Donc $Q_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons que $u_{k+1}\leqslant u_k$. Ces deux termes appartenant à $]-1\,;+\infty[$ d'après la question 2., on applique la fonction $f$, croissante : $$u_{k+1}\leqslant u_k \implies f(u_{k+1})\leqslant f(u_k) \implies u_{k+2}\leqslant u_{k+1}$$ ce qui prouve $Q_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence, $u_{n+1}\leqslant u_n$ pour tout $n$ : $$\boxed{(u_n)\text{ est décroissante}}$$