Exercice 12

1. La fonction $f$ est une fonction polynôme du second degré, dérivable sur $\mathbb{R}$, et pour tout $x$ : $$f(x)=2x-x^2 \qquad\text{donc}\qquad f'(x)=2-2x=2(1-x)$$ Or pour tout $x\in[0\,;1]$, on a $1-x\geqslant 0$, donc $f'(x)\geqslant 0$ : $$\boxed{f\text{ est croissante sur }[0\,;1]}$$

2. Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : «\,0<u_n<1\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$ : par hypothèse $u_0\in\;]0\,;1[$, donc $0<u_0<1$ et $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons que $0<u_k<1$. La fonction $f$ étant croissante sur $[0\,;1]$ d'après la question 1., on peut l'appliquer à chaque membre de l'encadrement : $$0<u_k<1 \implies f(0)<f(u_k)<f(1) \implies 0<u_{k+1}<1$$ puisque $f(0)=0$ et $f(1)=1\times 1=1$. Ceci prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\; 0<u_n<1}$$

3. Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$u_{n+1}-u_n=u_n(2-u_n)-u_n=u_n\left(2-u_n-1\right)=u_n(1-u_n)$$ Or d'après la question 2., $u_n>0$ et $1-u_n>0$, donc ce produit est strictement positif : $$\boxed{(u_n)\text{ est croissante}}$$