Exercice 11 Somme des cubes

1. On calcule les premières sommes : $$S_1=1 \;;\; S_2=1+8=9 \;;\; S_3=9+27=36 \;;\; S_4=36+64=100$$

2. Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\geqslant 1,\quad P_n : «\,S_n=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\,»$$

Initialisation : Pour $n=1$ : $\dfrac{1\times 4}{4}=1=S_1$. Donc $P_1$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\geqslant 1$. Supposons que $S_k=\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}$. Alors : $$\begin{aligned} S_{k+1} &= S_k+(k+1)^3\\ &= \frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3\\ &= \frac{(k+1)^2\big[k^2+4(k+1)\big]}{4}\\ &= \frac{(k+1)^2\left(k^2+4k+4\right)}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} \end{aligned}$$ ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $$\boxed{\forall n\geqslant 1,\; S_n=\frac{n^2(n+1)^2}{4}}$$ On remarque au passage que $S_n=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$ : la somme des cubes est le carré de la somme des entiers.