Exercice 10 Somme des carrés

1. On calcule les premières sommes : $$S_1=1 \;;\; S_2=1+4=5 \;;\; S_3=5+9=14 \;;\; S_4=14+16=30$$

2. Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\geqslant 1,\quad P_n : «\,S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\,»$$

Initialisation : Pour $n=1$ : $\dfrac{1\times 2\times 3}{6}=1=S_1$. Donc $P_1$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\geqslant 1$. Supposons que $S_k=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$. Alors : $$\begin{aligned} S_{k+1} &= S_k+(k+1)^2\\ &= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2\\ &= \frac{(k+1)\big[k(2k+1)+6(k+1)\big]}{6}\\ &= \frac{(k+1)\left(2k^2+7k+6\right)}{6}\\ &= \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} \end{aligned}$$ la dernière égalité s'obtenant en factorisant $2k^2+7k+6=(k+2)(2k+3)$. Comme $2k+3=2(k+1)+1$, ceci prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $$\boxed{\forall n\geqslant 1,\; S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$