Exercice 9

1. On calcule les premiers termes : $$u_1=1\times 2=2 \qquad ; \qquad u_2=2+2\times 3=8 \qquad ; \qquad u_3=8+3\times 4=20$$ De plus, $u_{n+1}$ est obtenu en ajoutant à $u_n$ le terme suivant de la somme : $$\boxed{u_1=2\;;\;u_2=8\;;\;u_3=20 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=u_n+(n+1)(n+2)}$$

2. Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\in\mathbb{N}^*,\quad P_n : «\,u_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\,»$$

Initialisation : Pour $n=1$ : $\dfrac{1\times 2\times 3}{3}=2=u_1$. Donc $P_1$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\geqslant 1$. Supposons que $u_k=\dfrac{k(k+1)(k+2)}{3}$. Alors, d'après la relation établie à la question 1. : $$\begin{aligned} u_{k+1} &= u_k+(k+1)(k+2)\\ &= \frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)\\ &= (k+1)(k+2)\left(\frac{k}{3}+1\right)\\ &= \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} \end{aligned}$$ ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N}^*,\; u_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}}$$