Exercice 8

Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : «\,u_n=(n+1)^2\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$ : $(0+1)^2=1=u_0$. Donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons que $u_k=(k+1)^2$. Alors : $$\begin{aligned} u_{k+1} &= u_k+2k+3\\ &= (k+1)^2+2k+3 \qquad\text{d'après } P_k\\ &= k^2+2k+1+2k+3\\ &= k^2+4k+4=(k+2)^2 \end{aligned}$$ ce qui prouve $P_{k+1}$, puisque $k+2=(k+1)+1$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\; u_n=(n+1)^2}$$