Exercice 7

Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : «\,0\leqslant v_n<3\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$ : $v_0=0$ et $0\leqslant 0<3$. Donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons que $0\leqslant v_k<3$. Alors : $$0\leqslant v_k<3 \implies -3<-v_k\leqslant 0 \implies 3<6-v_k\leqslant 6$$ La fonction inverse étant décroissante sur $]0\,;+\infty[$, on obtient : $$\frac{1}{6}\leqslant\frac{1}{6-v_k}<\frac{1}{3} \implies \frac{9}{6}\leqslant v_{k+1}<3$$ Comme $\dfrac{9}{6}\geqslant 0$, on a bien $0\leqslant v_{k+1}<3$, ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\; 0\leqslant v_n<3}$$