Exercice 6

Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : «\,u_n\geqslant n\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$ : $u_0=0\geqslant 0$. Donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons que $u_k\geqslant k$. En multipliant cette inégalité par $3>0$, puis en ajoutant $-2k+3$ : $$\begin{aligned} u_{k+1}=3u_k-2k+3 &\geqslant 3k-2k+3\\ &\geqslant k+3\\ &\geqslant k+1 \end{aligned}$$ ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\; u_n\geqslant n}$$