Exercice 5

1. On applique la relation de récurrence : $$u_2=\frac{1}{2-u_1}=\frac{1}{2-0}=\frac{1}{2} \qquad ; \qquad u_3=\frac{1}{2-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3} \qquad ; \qquad u_4=\frac{1}{2-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$$

2. En écrivant $u_1=\dfrac{0}{1}$, on constate que le numérateur et le dénominateur augmentent tous deux de $1$ à chaque rang, ce qui conduit à conjecturer : $$\boxed{\forall n\geqslant 1,\; u_n=\frac{n-1}{n}}$$

3. Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\geqslant 1,\quad P_n : «\,u_n=\frac{n-1}{n}\,»$$

Initialisation : Pour $n=1$ : $\dfrac{1-1}{1}=0=u_1$. Donc $P_1$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\geqslant 1$. Supposons que $u_k=\dfrac{k-1}{k}$. Alors : $$\begin{aligned} u_{k+1} &= \frac{1}{2-u_k}=\frac{1}{2-\frac{k-1}{k}}\\ &= \frac{1}{\frac{2k-(k-1)}{k}}=\frac{k}{k+1}\\ &= \frac{(k+1)-1}{k+1} \end{aligned}$$ ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence, $u_n=\dfrac{n-1}{n}$ pour tout $n\geqslant 1$, et en particulier : $$\boxed{u_{2021}=\frac{2020}{2021}}$$