Exercice 4

Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : «\,u_n>0\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$ : $u_0=\dfrac{1}{2}>0$. Donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons que $u_k>0$. Alors $3u_k>0$ et $1+2u_k>1>0$ : le quotient $u_{k+1}=\dfrac{3u_k}{1+2u_k}$ est bien défini, et c'est un quotient de deux nombres strictement positifs, donc $u_{k+1}>0$, ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\; u_n>0}$$